Mozaicul care refuză să aibă doar 9 pătrate
Povestea
În hol este un mozaic pătrat.
Provocarea ramei
Ce se dă:
Are 3 rânduri și 3 coloane de plăcuțe pătrate egale.
Ce se cere:
Câte pătrate de toate mărimile se văd în mozaic?
Numărăm pe mărimi
Mara Priceputa caută cea mai mică mărime. Licăr pune fanionul START lângă pătratele 1 × 1.
Numărăm toate pătratele de o mărime înainte să trecem la următoarea: 1 × 1, apoi 2 × 2, apoi 3 × 3.
La prima privire vedem:
9 pătrate mici
Dar patru plăcuțe vecine pot forma un pătrat mai mare.
Sunt:
4 pătrate de 2 × 2
Iar tot mozaicul este:
1 pătrat de 3 × 3
Numărăm pe mărimi
9 + 4 + 1 = 14 pătrate
Nu numărăm doar plăcuțele.
Numărăm toate pătratele:
9 + 4 + 1 = 14
Verificăm tabelul
Fiecare pătrat apare într-o singură categorie, iar cele trei categorii dau împreună 14.
Licăr! Am numărat pe mărimi și am găsit toate cele 14 pătrate.
În holul centrului de activități fusese montat un mozaic nou. Era pătrat și avea nouă plăcuțe, așezate în trei rânduri și trei coloane.
Mozaicul nu înfățișa un castel, un vapor sau un personaj misterios.
Înfățișa nouă pătrate.
Foarte serios.
Provocarea ramei
Ce se dă:
- mozaicul are 3 rânduri și 3 coloane de plăcuțe pătrate egale.
Pe rama lui scria:
Găsește toate pătratele de toate mărimile.
Ce se cere:
- Câte pătrate de 1 × 1 sunt?
- Câte pătrate de 2 × 2 sunt?
- Câte pătrate de 3 × 3 sunt?
- Câte pătrate sunt în total?
Luca Descurcărețul a numărat repede plăcuțele.
„Nouă”, a spus el. „Trei rânduri cu câte trei. Caz închis.”
Din ramă s-a auzit un cling scurt.
O plăcuță s-a luminat, apoi încă trei de lângă ea.
Mozaicul părea să spună:
Caz redeschis.
Mara Priceputa a citit din nou cerința.
„Nu întreabă câte plăcuțe sunt. Întreabă câte pătrate de toate mărimile se pot vedea.”
Numărăm pe mărimi
Mara Priceputa caută cea mai mică mărime. Licăr pune fanionul START lângă pătratele 1 × 1.
Numărăm toate pătratele de o mărime înainte să trecem la următoarea: 1 × 1, apoi 2 × 2, apoi 3 × 3.
Lia Chibzuita a desenat trei rânduri într-un tabel:
| Mărimea pătratului | Câte găsim? |
|---|---|
| 1 × 1 | |
| 2 × 2 | |
| 3 × 3 |
„Le numărăm pe mărimi”, a spus ea. „Așa nu fug unele dintre ele și nu se întorc cu o mustață desenată, sperând să fie numărate din nou.”
Radu Iscoditorul a privit mozaicul prin Oglinda Adevărului.
„Începem cu pătratele de 1 × 1. Acestea sunt chiar plăcuțele.”
Erau:
3 × 3 = 9 pătrate mici
Luca a completat primul rând al tabelului.
„Acum pătratele de 2 × 2”, a spus Mara.
Un asemenea pătrat era făcut din patru plăcuțe vecine. Putea sta:
- în colțul din stânga sus;
- în colțul din dreapta sus;
- în colțul din stânga jos;
- în colțul din dreapta jos.
Erau:
4 pătrate mijlocii
„Și pătratele de 3 × 3?” a întrebat Lia.
Toate cele nouă plăcuțe, privite împreună, formau chiar rama pătrată a mozaicului.
Era:
1 pătrat mare
Numărăm pe mărimi
9 + 4 + 1 = 14 pătrate
Luca a adunat categoriile:
9 + 4 + 1 = 14
„Mozaicul are nouă plăcuțe, dar ascunde 14 pătrate”, a spus el.
Rama a făcut din nou:
cling!
De data aceasta suna mulțumită.
Verificăm tabelul
Radu a verificat tabelul.
„Am numărat fiecare mărime separat. Niciun pătrat nu apare în două categorii și nu am sărit peste pătratul mare.”
Licăr a luminat contururile, de la cel mai mic până la cel mai mare.
„Când formele se ascund unele în altele, nu le căutăm la întâmplare. Le numărăm pe mărimi și ținem evidența.”
Luca a privit mozaicul.
„Îmi retrag «caz închis».”
Mozaicul a răspuns cu două clinchete.
Probabil însemnau:
Retragere acceptată.
Licăr! Am numărat pe mărimi și am găsit toate cele 14 pătrate.
Bilețelul pe scurt
Ce se dă: un mozaic pătrat, împărțit în 3 rânduri și 3 coloane de plăcuțe pătrate egale.
Ce se cere: câte pătrate de toate mărimile se pot vedea în mozaic.
Idee de sprijin:
Nu număra la întâmplare. Fă trei categorii: pătrate 1 × 1, 2 × 2 și 3 × 3.
Metodă: numărăm 9 pătrate mici, 4 pătrate mijlocii și 1 pătrat mare, apoi adunăm.
Verificare: fiecare pătrat intră într-o singură categorie, iar totalul este 9 + 4 + 1 = 14.
Rândul tău
Mozaicul ascunde pătrate în interiorul altor pătrate
Ce se dă: o grilă de 4 × 4 pătrățele egale.
Ce se cere: toate pătratele de mărimile 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 și 4 × 4, apoi totalul lor.
Aceeași grilă, patru mărimi de căutat
Mută fiecare „fereastră” pe toate pozițiile în care încape.
Privește grila de 4 × 4. Dacă vrei să marchezi fiecare pătrat, copiaz-o pe o foaie.
- Mută pe rând ferestrele de 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 și 4 × 4. Completează tabelul:
| Mărimea pătratului | Numărul de pătrate |
|---|---|
| 1 × 1 | _____ |
| 2 × 2 | _____ |
| 3 × 3 | _____ |
| 4 × 4 | _____ |
- Calculează totalul:
___ + ___ + ___ + ___ = ___ pătrate
- Explică de ce numărul pătrățelelor mici nu este și numărul tuturor pătratelor.
Un indiciu, dacă ai nevoie Îl poți lăsa închis cât timp vrei să încerci singur.
Numără pătratele pe mărimi. Pentru 2 × 2, mută o „fereastră” de două pătrățele pe toate pozițiile posibile; repetă pentru 3 × 3 și 4 × 4.
Nu aduna încă până nu ai completat fiecare rând al tabelului.
Verific cu Radu Compar explicația mea cu a lui Radu. Am verificat împreună Pot închide și încerca din nou.
Radu verifică:
Numărăm pe mărimi:
- 16 pătrate de 1 × 1;
- 9 pătrate de 2 × 2;
- 4 pătrate de 3 × 3;
- 1 pătrat de 4 × 4.
Adunăm numai după ce tabelul este complet:
16 + 9 + 4 + 1 = 30
Cele 16 pătrățele mici nu sunt toate pătratele din desen. Unele grupuri de 4, 9 sau 16 pătrățele formează și pătrate mai mari.
Răspuns: mozaicul ascunde 30 de pătrate de toate mărimile.
Povestea ta
Desenează un mozaic de 3 × 3 sau 4 × 4 pătrățele.
Pregătește ferestre din hârtie pentru fiecare mărime posibilă de pătrat și alege câte o culoare pentru fiecare mărime.
Ce se dă: dimensiunea grilei.
Ce se cere: numărul pătratelor de fiecare mărime și totalul lor.
Roagă un prieten să mute fiecare fereastră pe toate pozițiile în care încape și să completeze un tabel. Pentru o fereastră de k × k într-o grilă de n × n, verificați numărul pozițiilor prin:
(n − k + 1) × (n − k + 1)
Colorează un singur exemplu din fiecare mărime, nu toate pătratele găsite, ca mozaicul să rămână ușor de citit. Totalul se află abia după ce toate rândurile tabelului sunt complete.
Jocul prietenilor
Joacă Pătratul găsit, pătratul bifat.
Un jucător desenează o grilă.
Celălalt spune o mărime: 1 × 1, 2 × 2 sau 3 × 3.
Amândoi arată pe rând câte un pătrat de acea mărime și îl marchează discret.
Un pătrat deja marcat nu mai poate reveni cu alt nume.
Câștigați împreună dacă tabelul final conține toate pătratele și niciunul nu a fost numărat de două ori.