Patinoarul și unghiurile ascunse sub urmele patinelor
Carnetul Cuvintelor-Cheie
Deschide când un cuvânt matematic fuge din memorie.
drepte paralele Două drepte din același plan care păstrează aceeași distanță și nu se întâlnesc, oricât le-am prelungi.
Indiciu rapid: Gândește-te la cele două șine de pe o porțiune dreaptă.
Exemplu: Cele două linii după care sunt așezate șinele sunt paralele.
Atenție: Nu este suficient ca dreptele să nu se întâlnească în desen. Dacă se apropie una de alta, s-ar putea întâlni când le prelungim.
drepte perpendiculare Două drepte care se întâlnesc formând unghiuri drepte.
Indiciu rapid: Gândește-te la o traversă așezată drept peste șine.
Exemplu: O traversă este perpendiculară pe fiecare dintre cele două șine.
Atenție: Două drepte nu sunt perpendiculare doar pentru că se întâlnesc. La întâlnire trebuie să formeze unghiuri drepte.
unghi Deschiderea formată de două direcții care pornesc din același punct.
Indiciu rapid: Caută deschiderea dintre cele două direcții, ca la un colț.
Exemplu: Între direcția șinei și direcția traversei se formează un unghi.
Atenție: Unghiul arată cât de mare este deschiderea, nu cât de lungi sunt liniile desenate.
unghi drept Un unghi care se potrivește exact cu un colț pătrat și măsoară 90 de grade.
Indiciu rapid: Folosește colțul unei foi ca tester.
Exemplu: Șina și traversa formează un unghi drept.
Atenție: Nu orice colț este un unghi drept. Verifică dacă se potrivește exact cu colțul foii.
Povestea
Pe patinoar se pregătește un spectacol de lumini.
La fiecare unghi drept trebuie lipit un marcaj argintiu.
Dar planul nu spune direct toate relațiile dintre linii.
Fișa patinoarului
Ce se dă:
d1 ∥ d2 ∥ d3 ∥ d4
a ⟂ d2
b ∥ a
c ⟂ d4
Urma oblică s traversează toate liniile albastre, dar nu formează unghiuri de 90°.
În cutie sunt 60 de marcaje argintii.
Ce se cere:
- Ce alte relații putem deduce?
- Câte intersecții apar cu liniile albastre?
- Câte sunt intersecții drepte?
- Câte unghiuri drepte se formează?
- Câte marcaje rămân?
Dovedim înainte să numărăm
Mara Priceputa caută relația spusă direct. Licăr pune fanionul START lângă a ⟂ d2.
Dreptele d1-d4 sunt paralele. Dacă a este perpendiculară pe una dintre ele, atunci este perpendiculară pe toate.
Deci:
a ⟂ d1, d2, d3, d4
Pentru că b ∥ a, și b are aceeași direcție:
b ⟂ d1, d2, d3, d4
Din c ⟂ d4 deducem:
c ⟂ d1, d2, d3, d4
Așadar:
a ∥ b ∥ c
Relațiile ascunse din plan
Cu liniile albastre se intersectează:
a, b, c și s
Sunt:
4 × 4 = 4 × 4 = 16 intersecții
Intersecții drepte formează doar a, b și c:
4 × 3 = 3 × 4 = 12
La fiecare apar 4 unghiuri drepte:
12 × 4 = 4 × 12 = 48
Marcajele rămase:
60 - 48 = 12
Patina care a lăsat urma s se înclină mândră:
„Am vrut să par dinamică.”
„Dinamică, da”, spune Radu. „Perpendiculară, nu.”
Licăr! Am dedus relațiile, am separat intersecțiile și am găsit 48 de unghiuri drepte.
Pe patinoarul orașului se pregătea un spectacol de lumini.
Sub fiecare colț drept al planului urma să fie lipit un marcaj argintiu, iar la aprinderea reflectoarelor, pe gheață apărea o rețea luminoasă.
Umezeala ștersese o parte dintre explicații. Se mai vedeau patru linii albastre, trei linii roșii și urma oblică a unei patine.
Patina se sprijinea de marginea patinoarului cu un aer foarte mulțumit.
„Am vrut să par dinamică”, părea să spună.
Radu Iscoditorul a privit urma.
„Dinamică, da. Perpendiculară, încă nu știm.”
Fișa patinoarului
Ce se dă:
- cele patru linii albastre sunt paralele: d1 ∥ d2 ∥ d3 ∥ d4;
- linia roșie a este perpendiculară pe d2;
- linia roșie b este paralelă cu a;
- linia roșie c este perpendiculară pe d4;
- urma oblică s traversează toate cele patru linii albastre, dar nu formează unghiuri de 90°;
- în cutie sunt 60 de marcaje argintii.
Ce se cere:
- Ce alte relații de perpendicularitate putem deduce?
- Putem demonstra că liniile a, b și c sunt paralele?
- Câte intersecții formează liniile a, b, c și s cu familia albastră?
- Câte dintre aceste intersecții sunt drepte și câte sunt oblice?
- Câte unghiuri drepte se formează?
- Ajung cele 60 de marcaje? Câte rămân?
Dovedim înainte să numărăm
Mara Priceputa caută relația spusă direct și independent de celelalte concluzii. Licăr pune fanionul START lângă a ⟂ d2.
Cele patru linii albastre sunt paralele. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre ele, atunci este perpendiculară pe întreaga familie de paralele.
„Știm direct că a ⟂ d2”, a spus Lia. Cum liniile albastre sunt paralele, a este perpendiculară pe întreaga familie:
a ⟂ d1, d2, d3, d4
„Fișa spune că b ∥ a”, a observat Luca. Deci și b formează unghiuri drepte cu toate liniile albastre:
b ⟂ d1, d2, d3, d4
Iar din indiciul c ⟂ d4 rezultă:
c ⟂ d1, d2, d3, d4
Cele trei linii roșii erau perpendiculare pe aceeași familie albastră, deci erau paralele între ele:
a ∥ b ∥ c
Relațiile ascunse din plan
Separăm intersecțiile
Fiecare dintre cele patru linii albastre era traversată de a, b, c și s. Numărul tuturor intersecțiilor era:
4 × 4 = 4 × 4 = 16
Numai liniile a, b și c erau perpendiculare pe familia albastră:
4 linii albastre × 3 linii roșii
4 × 3 = 3 × 4 = 12 intersecții drepte
Urma oblică s produce:
4 × 1 = 1 × 4 = 4 intersecții oblice
Verificare: 12 + 4 = 16.
De la puncte la unghiuri
„Avem nevoie de 12 marcaje?” a întrebat Luca.
Mara a pus un cartonaș pătrat lângă un punct. „La o intersecție dintre două drepte perpendiculare apar patru unghiuri drepte.”
La fiecare dintre cele 12 puncte trebuiau deci patru marcaje:
12 × 4 = 4 × 12 = 48
Erau necesare 48 de marcaje, iar în cutie erau 60. Rămâneau:
60 - 48 = 12
„Ajung și ne rămân 12”, a spus Luca.
Verificarea planului
Radu a verificat cele două totaluri: 12 + 4 = 16 intersecții și 48 + 12 = 60 de marcaje.
Patina a mai trasat o urmă scurtă și oblică lângă margine.
„Tot dinamică”, a spus Radu. „Și tot neperpendiculară.”
Licăr a luminat familia albastră, apoi familia roșie și cele 48 de colțuri drepte. „Am dedus întâi relațiile și abia apoi am numărat!”
Licăr!
Bilețelul pe scurt
Ce se dă: patru linii albastre paralele d1-d4; a ⟂ d2; b ∥ a; c ⟂ d4; urma oblică s traversează toate liniile albastre; cutia are 60 de marcaje.
Ce se cere: relațiile deduse dintre linii, toate intersecțiile cu familia albastră, intersecțiile drepte, numărul unghiurilor de 90° și marcajele rămase.
Idee de sprijin:
O perpendiculară pe una dintre mai multe drepte paralele este perpendiculară pe întreaga familie.
Metodă: deducem întâi relațiile, apoi calculăm: 4 × 4 = 4 × 4 = 16 intersecții, dintre care 4 × 3 = 3 × 4 = 12 sunt drepte; 12 × 4 = 4 × 12 = 48 unghiuri drepte.
Verificare: 12 + 4 = 16 intersecții, iar 60 - 48 = 12 marcaje rămân în cutie.
Rândul tău
Urmele drepte și urma oblică traversează același patinoar
Ce se dă: 5 linii albastre paralele, p perpendiculară pe ele, q paralelă cu p, urma oblică t și 50 de marcaje.
Ce se cere: intersecțiile drepte și oblice, numărul unghiurilor drepte și marcajele rămase.
Întâi deducem, apoi numărăm
p și q: întâlniri drepte · t: întâlniri oblice
- Explică de ce p și q sunt perpendiculare pe toate cele cinci linii albastre.
- Numără toate intersecțiile, apoi separă-le în intersecții drepte și oblice.
- Transformă intersecțiile drepte în unghiuri de 90°.
- Află câte marcaje rămân din cele 50.
Un indiciu, dacă ai nevoie Îl poți lăsa închis cât timp vrei să încerci singur.
Dacă p este perpendiculară pe una dintre liniile albastre paralele, este perpendiculară pe toate. Cum q este paralelă cu p, q are aceeași direcție.
Numără separat intersecțiile drepte și cele oblice; numai cele drepte produc câte 4 unghiuri de 90°.
Verific cu Radu Compar explicația mea cu a lui Radu. Am verificat împreună Pot închide și încerca din nou.
Radu verifică:
Cele cinci linii albastre sunt paralele. Dacă p este perpendiculară pe una dintre ele, este perpendiculară pe toate. Cum q ∥ p, și q este perpendiculară pe întreaga familie albastră.
Toate intersecțiile cu p, q, t:
5 × 3 = 15
Intersecțiile cu p și q sunt drepte:
5 × 2 = 10
Urma t produce 15 - 10 = 5 intersecții oblice.
Cele 10 intersecții drepte formează:
10 × 4 = 40 de unghiuri drepte
Din 50 de marcaje rămân 50 - 40 = 10.
Povestea ta
Desenează între 3 și 5 urme paralele pe un patinoar.
Adaugă o urmă p perpendiculară pe ele, o urmă q paralelă cu p și o urmă oblică t care le traversează.
Scrie pe plan numai relațiile p este perpendiculară pe urmele paralele și q este paralelă cu p.
Ce se dă: planul și cele două relații.
Ce se cere:
- relațiile care pot fi deduse pentru q;
- numărul intersecțiilor dintre urmele paralele și p, q, t;
- separarea lor în întâlniri drepte și oblice;
- numărul total al unghiurilor de 90°.
Roagă un prieten să explice mai întâi de ce q este și ea perpendiculară pe toate urmele. Abia apoi numărați. Verificați unghiurile drepte cu un colț de foaie, iar urma t trebuie păstrată separat.
Jocul prietenilor
Folosiți șapte creioane și un cartonaș dreptunghiular.
Un jucător construiește în secret:
- trei creioane paralele;
- două creioane perpendiculare pe ele;
- un creion oblic.
Al doilea jucător primește doar două indicii despre relațiile dintre creioane.
El trebuie:
- să deducă paralelele și perpendicularele;
- să verifice unghiurile cu colțul cartonașului;
- să numere intersecțiile drepte;
- să calculeze numărul unghiurilor drepte.
Schimbați rolurile și modificați numărul de linii.